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Risolvere un problema di geometria piana

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Proponete questo problema di geometria ai vostri studenti o risolvetelo da soli senza andare subito alla soluzione.

Problema: Sia ABC un triangolo rettangolo, isoscele sulla base AB. Nel semipiano avente come origine la retta AB cui non appartiene C, traccia la semicirconferenza di diametro AB. Considera un punto P sulla semicirconferenza e indica con Q il punto di intersezione di AB e PC.

a) Dimostra che la semiretta PC è la bisettrice dell’angolo APB.

b) Supposto che AP=6 cm e BP=8 cm, determina le misure di AQ e QB nonché il perimetro e l’area del quadrilatero ACBP.

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Dimostrazione geometria piana

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clip_image002[6]

Dato il trapezio in figura, dimostrare che:

DC=AD+BC  e l’angolo DOC =90°

Dimostrazione

1) Sappiamo, per la nota proprietà, che i segmenti di tangente DT=AD e TC=BC quindi sommando membro a membro abbiamo che: DT+TC= AD+BC, ma DT+TC=DC quindi DC=AD+BC

2) I triangoli ADO e DOT sono congruenti perché hanno entrambi l’angolo retto clip_image006[7] inoltre hanno i lati AD=DT perché segmenti di tangente e i due lati AO=OT perché entrambi raggi della stessa circonferenza. Quindi in particolare sono uguali gli angoli

clip_image008[7]

Stesso ragionamento per i triangoli OTC=OCB che hanno uguali gli angoli

clip_image010[7]

Osserviamo che l’angolo clip_image012[7] ed è formato da clip_image014[7]la somma delle rispettive metà vale:

clip_image016[7]

Ma le rispettive metà sono proprio: clip_image018[7] c.v.d.