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Problema di Geometria (Terza Media, tipo esame)

Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 120 cm e l’ipotenusa di 50 cm. Sapendo che i due cateti sono uno i 3/4 dell’altro, calcola l’area totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa.

Soluzione

Il perimetro è la somma di ipotenusa + cateto1 + cateto2 quindi se dal perimetro tolgo l’ipotenusa 120 – 50 = 70 cm trovo la somma dei due cateti.

Sapendo la proporzione che lega i due cateti posso applicare la proprietà del comporre:

Che risolvo:

Mentre il cateto2 = 70 – 30 = 40 cm

Questo è il solido ottenuto ruotando il triangolo rettangolo attorno alla sua ipotenusa:

Si tratta di due coni con la base in comune. Per trovare il raggio del cerchio di base calcoliamo prima l’area del triangolo:

Il raggio è l’altezza del triangolo se consideriamo l’ipotenusa come base, quindi usando la formula inversa:

Poi ci servono anche le altezze dei due coni, le troviamo con Pitagora:

Adesso possiamo trovare il volume dei coni:

Poi troviamo le aree laterali considerando che :