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Prova d’esame di terza media, risolta

Riprendiamo la nostra preparazione all’esame di terza media risolvendo questo problema di geometria solida che riguarda un cono ed un cilindro.

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Prova d’esame:

Lo sviluppo della superficie laterale di un cono è un settore circolare con angolo al centro di 216° e area di 540 π cm2. Calcola:

(a) il raggio del cerchio al quale appartiene il settore circolare;

(b) la superficie totale e il volume del cono;

(c) la superficie totale di un cilindro equivalente al cono il cui raggio di base sia di 24 cm.

Ecco la soluzione.

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Problema di geometria solida, cono e cilindro

Una nostra lettrice, che si firma Lola99, ci invia questo problema di geometria solida, tipico della classe terza media. Ecco come risolverlo, un passaggio alla volta.

Problema: Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono avente per base una base del cilindro. Determina l’altezza del solido sapendo che la sua superficie è 565,2 centimetri quadrati, la circonferenza di base misura 47,1 centimetri e l’altezza del cilindro è di 4 centimetri.

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Soluzione: L’area laterale del cilindro (colore blu) è = circonferenza x altezza = 47,1 x 4 = 188,4 cm2

Sapendo la circonferenza possiamo trovare il raggio

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Troviamo l’area del cerchio di base (colore rosso)

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Per trovare l’area laterale del cono (colore verde) togliamo dalla superficie di tutto il solido la superficie laterale del cilindro e l’area del cerchio di base.

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Area laterale cono (verde) = area totale – area cerchio base (rosso) – area laterale cilindro (blu)=

= 565,2 – 188,4 – 176,625 = 200,175 cm2

Troviamo l’apotema del cono

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Con Pitagora troviamo l’altezza del cono

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Altezza di tutto il solido = altezza cilindro + altezza cono = 4 + 4 = 8 cm

Problema di geometria risolto, cerchio e tangenti

Un problema di geometria piana risolto per voi e per la nostra lettrice Stefania.

Problema: Disegna un cerchio di area 225 π cm2 e centro O. Da un punto E esterno alla circonferenza che dista dal centro i 5/3 del raggio conduci le tangenti EC ed EB alla circonferenza. Disegna il rettangolo ABCD inscritto nella circonferenza. Calcola perimetro ed area del pentagono ABECD.

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Soluzione:

Formula: clip_image003

Formula inversa: clip_image005

Raggio = AO = OC = 15 cm clip_image007

Le tangenti formano un angolo retto = 90° con il raggio, quindi il triangolo OCE è un triangolo rettangolo.

Con Pitagora trovo clip_image009

Trovo l’area del triangolo rettangolo OCE:

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Con formula inversa, trovo l’altezza del triangolo rettangolo OCE:

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Quindi AD = BC = CH x 2 = 12 x 2 = 24 cm

Con Pitagora trovo HE clip_image015

Con Pitagora trovo AB clip_image017

Perimetro del pentagono ABECD = 18 + 20 + 20 + 18 + 24 = 100 cm

Area del pentagono ABECD clip_image019