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Problema che potrebbe capitare alla prova scritta di matematica per la Terza Media.

Disegniamo il trapezio isoscele per capire come calcolarne l’altezza.

L’altezza del trapezio DE è uguale ai segmenti AE e DE perché il triangolo ADE è rettangolo e anche isoscele avendo gli angoli α e β entrambi di 45°. Inoltre AE = FB perché il trapezio è isoscele e misurano (AB – DC) : 2 = (10 – 8) : 2 = 1 cm

Quindi l’altezza del trapezio misura 1 cm.

Per trovare la superficie totale di questo prisma dobbiamo sommare le aree delle due basi trapezoidali all’area laterale.

L’area laterale del prisma si ottiene moltiplicando il perimetro del trapezio per l’altezza del prisma:

Per calcolare il perimetro del trapezio isoscele troviamo il lato obliquo con Pitagora:

Perimetro = AB+BC+CD+DA=10+1,4142+8+1,4142=20,8284 cm

Area laterale = perimetro x altezza del prisma = 20,8284 x 6 = 124,9704 cm²

Area totale = area delle due basi + area laterale = 9 + 9+ 124,9704 = 142,9704 cm²

Esercizio N° 196 La somma delle basi di un trapezio isoscele è di 36 cm e la base maggiore supera la minore di 16 cm. Sapendo che l’area del trapezio misura 270 cm², determina l’area della superficie totale e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il trapezio di 360° intorno alla base minore.

Quando conosciamo la somma e la differenza di due valori possiamo procedere così (vedi nostro post):

Togliamo dalla somma la differenza (36 – 16 = 20)
Dividiamo per 2 il risultato (20 : 2 = 10) per ottenere il valore del numero più piccolo
Sommiamo al numero piccolo la differenza (10 + 16 = 26) per ottenere il valore del numero più grande

Quindi la base maggiore misura 26 cm mentre la base minore misura 10 cm.

Adesso calcoliamo l’altezza del trapezio usando la formula inversa dell’area.

Ricordiamo che l’area del trapezio si calcola con questa formula:

Per cui la formula inversa ci permette di calcolare l’altezza:

Questo è il nostro trapezio isoscele.

Se adesso facciamo ruotare di 360° il trapezio attorno alla sua base minore otteniamo questo solido. Si tratta di un cilindro con due cavità coniche.

Per calcolare l’area della superficie totale di questo solido di rotazione dobbiamo sommare quella laterale del cilindro e quelle laterali dei due coni.

Il cilindro è alto 26 cm ed ha il raggio di base di 15 cm.