La logica matematica è una parte importante della matematica perché ci aiuta a capire come ragionare in modo corretto e a dimostrare se qualcosa è vero o falso. In questo articolo ti spiego i concetti di base e alcuni simboli che vedrai spesso in matematica e informatica. Non preoccuparti, cercherò di renderli semplici e chiari!

1. Proposizione

Una proposizione è una frase che può essere vera o falsa, ma non entrambe. Ad esempio:

• “Oggi piove” è una proposizione (può essere vero o falso).
• “2 + 2 = 4” è una proposizione (ed è vera).

Le domande o i comandi non sono proposizioni, perché non possono essere né vere né false.

2. Quantificatore

I quantificatori sono parole che ci aiutano a parlare di quanti elementi in un gruppo soddisfano una certa condizione. I due quantificatori principali sono:

• “Per ogni” (∀): si usa quando qualcosa è vero per tutti gli elementi.
  • Esempio: “Per ogni numero pari, il risultato della divisione per 2 è intero.”
• “Esiste” (∃): si usa quando qualcosa è vero per almeno un elemento.
  • Esempio: “Esiste un numero che è sia pari che dispari? (Falso, non esiste).”

3. Congettura

Una congettura è un’ipotesi o una supposizione che sembra vera ma non è ancora stata dimostrata. In matematica, spesso si fanno congetture su certi fenomeni, e poi si cerca di dimostrarle o smentirle.

4. Ipotesi

L’ipotesi è una condizione iniziale o un punto di partenza di un ragionamento. Quando si cerca di dimostrare un teorema, si parte da una o più ipotesi. Ad esempio:

• Ipotesi: “Tutti i numeri pari sono divisibili per 2.”

5. Teorema

Un teorema è una proposizione che è stata dimostrata essere vera. Dopo aver fatto delle ipotesi, se riusciamo a dimostrare che la conclusione è vera, allora abbiamo un teorema. Un famoso esempio è il teorema di Pitagora.

6. Definizione

Una definizione è una spiegazione precisa di cosa significa una parola o un concetto. In matematica, ogni concetto ha una definizione molto chiara per evitare confusioni. Ad esempio:

• Definizione di numero primo: “Un numero primo è un numero maggiore di 1 che ha esattamente due divisori: 1 e sé stesso.”

7. Relazione di Equivalenza

Una relazione di equivalenza è un tipo speciale di relazione che soddisfa tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva (spiegherò queste proprietà tra poco). Un esempio è la relazione “essere uguale a” tra i numeri.

8. Proprietà Riflessiva

Una relazione ha la proprietà riflessiva se ogni elemento è in relazione con sé stesso. Ad esempio, la relazione “essere uguale a” è riflessiva, perché ogni numero è uguale a sé stesso (ad esempio, 5 = 5).

9. Proprietà Simmetrica

Una relazione è simmetrica se, quando un elemento è in relazione con un altro, anche l’altro è in relazione con il primo. Ad esempio, nella relazione “essere fratello di”, se Luca è fratello di Marco, anche Marco è fratello di Luca.

10. Proprietà Transitiva

Una relazione è transitiva se, quando un elemento è in relazione con un secondo, e il secondo è in relazione con un terzo, allora il primo è in relazione con il terzo. Ad esempio, nella relazione “essere maggiore di”, se 5 > 3 e 3 > 1, allora 5 > 1.

11. Proposizioni Composte

Le proposizioni composte sono formate da due o più proposizioni legate da connettivi logici. Ad esempio:

• “Oggi piove e fa freddo” è una proposizione composta formata da due proposizioni semplici (“Oggi piove” e “fa freddo”) collegate dalla parola “e”.

Simboli Logici

In logica matematica, usiamo simboli per rappresentare i vari collegamenti tra proposizioni. Ecco i principali:

• p → q: significa “Se p allora q”. È una proposizione condizionale. Ad esempio: “Se piove (p), allora mi porto l’ombrello (q)”.
• ¬p: significa “Non p”. È la negazione di una proposizione. Ad esempio, se p è “Piove”, allora ¬p è “Non piove”.
• p ∧ q: significa “p e q”. Questa è vera solo se entrambe le proposizioni p e q sono vere. Ad esempio: “Oggi piove e fa freddo” è vera solo se entrambe sono vere.
• p ∨ q: significa “p o q”. Questa è vera se almeno una delle due proposizioni è vera. Ad esempio: “Oggi piove o fa freddo” è vera se una delle due è vera, oppure se sono vere entrambe.

Conclusione

Questi concetti di logica matematica sembrano complicati all’inizio, ma sono fondamentali per imparare a ragionare in modo corretto e risolvere problemi. Capire come funzionano le proposizioni, i teoremi e le proprietà delle relazioni ti aiuterà non solo in matematica, ma anche in altre discipline come l’informatica e la scienza!

Questionario

Se pensi di aver capito bene quello che hai appena letto puoi provare a rispondere a 10 semplici domande che riguardano proprio i concetti appena esposti. Clicca qui per aprire il questionario.