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Casi particolari di potenze e questionario

Nel maneggiare le potenze gli studenti incorrono frequentemente in errori dovuti ad alcuni casi particolari.

Vediamoli insieme.

Sappiamo che la divisione (o quoziente) tra due potenze che hanno la stessa base si ottiene sottraendo i due esponenti:

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Ma cosa accade se anche i due esponenti sono uguali?

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D’altronde sappiamo che il quoziente di due numeri uguali dà come risultato 1

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Adesso possiamo capire e memorizzare che un numero (diverso da zero) elevato all’esponente 0 dà come risultato 1

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Questo vale per tutte le basi tranne lo zero! Vediamo perché.

Prima però rivediamo altri 3 casi particolari che riguardano i quozienti nei quali compare lo zero.

 

1) Lo zero al numeratore e un numero diverso da zero al denominatore. imageZero diviso sei significa trovare quel numero che moltiplicato per 6 dia come risultato 0 e l’unico numero che moltiplicato per 6 dà 0 è proprio lo zero (un solo numero)

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2) Zero al denominatore ed un numero diverso da zero al numeratore.

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perché, come nel caso precedente, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per il denominatore 0 dia come risultato 8. Ma ciò è impossibile perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato zero. Quindi la frazione di questo tipo è impossibile (nessun numero)

 

3) Ultimo caso quando abbiamo zero sia al numeratore che al denominatore:

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qui al contrario del secondo caso possiamo dire che proprio per il fatto che qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato lo 0, non sappiamo quale scegliere, vanno bene tutti e quindi diciamo che il risultato è indeterminato (tutti i numeri)

Per riassumere possiamo memorizzare che i tre casi visti hanno come risultato rispettivamente: uno, nessuno e tutti.

Adesso possiamo vedere cosa succede in quest’ultimo caso particolare. Cominciamo ricordando che zero elevato ad un esponente intero positivo dà come risultato 0:

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Poi vediamo che se facciamo il quoziente di due potenze con base 0 e stesso esponente intero positivo:

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Otteniamo la frazione 0/0 che abbiamo appena spiegato essere indeterminata.

Possiamo dunque affermare che la potenza con base zero ed esponente zero: 00 è indeterminata.

Se avete letto tutto con attenzione siete in grado di rispondere a un breve questionario che vi aiuterà a verificare il grado di comprensione raggiunto.

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Ridurre le potenze alla stessa base

Dopo aver ripassato i concetti principali relativi alle potenze, possiamo provare a ridurre questa espressione.

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Dopo aver notato che tutte le basi (81; 9; 27 e 243) sono multiple di 3, possiamo ridurre tutte le potenze alla stessa base:

814=(34)4=34·4=316 ;  93=(32)3=32·3=36  ;  27-2=(33)-2=33·(-2)=3-6  ;   9-2=(32)-2=32·(-2)=3-4  ;  2432=(35)2=35·2=310

Quindi l’espressione diventa:

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Ricordando che se si inverte la base allora l’esponente cambia di segno:

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Abbiamo:

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Ricordiamo che dal prodotto di potenze con base uguale si ottiene una potenza con la stessa base e con esponente uguale alla somma algebrica degli esponenti.

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Vediamo infine se abbiamo compreso a fondo questi passaggi risolvendo questa espressione che si semplifica riducendo le potenze alla stessa base:

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Notiamo che le basi sono multiple di 2, infatti abbiamo che: 22=4;  23=8;  24=16;  25=32; 26=64;  27=128.

Espressioni con frazioni

Come si risolvono le espressioni con frazioni?

Bisogna seguire alcune regole.

Si risolvono i calcoli nelle parentesi tonde, poi quelli nelle quadre e infine le graffe.

Le quattro operazioni hanno queste precedenze: prima le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine con cui si incontrano quindi da sinistra a destra. Poi le somme e le sottrazioni, sempre da sinistra a destra.

Ricordiamo che il segno di frazione non rappresenta altro che una divisione.

Le frazioni si sommano o si sottraggono riducendole prima a denominatore comune.

Le frazioni si moltiplicano dopo averle semplificate, cioè dopo avere diviso i numeratori e i denominatori per il loro MCD (massimo comune divisore).

Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo inverso (o reciproco)

Il modo migliore per diventare dei campioni nel risolvere le espressioni è di esercitarsi.

Per voi abbiamo pubblicato la soluzione dell’espressione N° 50, vi consigliamo di provarci voi stessi per confrontare in seguito i vostri passaggi con i nostri.