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Come trovo il perimetro sapendo un cateto e l’area

Se si parla di cateto allora abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo.

Nel triangolo rettangolo i cateti formano l’angolo retto di 90° e quindi possiamo considerare uno come base e l’altro come altezza del triangolo.

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Ad esempio se il cateto che conosciamo misura 21 cm e l’area del triangolo 294 cm2 possiamo trovare la misura dell’altro cateto utilizzando la formula inversa di quella che usiamo per trovare l’area:

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Adesso che conosciamo la misura dei due cateti possiamo calcolare la lunghezza dell’ipotenusa utilizzando il teorema di Pitagora:

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Infine il perimetro si trova sommando le misure dei tre lati:

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Problema Geometria Esame Terza Media 2022

Problema di Geometria (Terza Media, tipo esame)

Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 120 cm e l’ipotenusa di 50 cm. Sapendo che i due cateti sono uno i 3/4 dell’altro, calcola l’area totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa.

Soluzione

Il perimetro è la somma di ipotenusa + cateto1 + cateto2 quindi se dal perimetro tolgo l’ipotenusa 120 – 50 = 70 cm trovo la somma dei due cateti.

Sapendo la proporzione che lega i due cateti posso applicare la proprietà del comporre:

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Che risolvo: clip_image008[1]

Mentre il cateto2 = 70 – 30 = 40 cm

Questo è il solido ottenuto ruotando il triangolo rettangolo attorno alla sua ipotenusa:

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Si tratta di due coni con la base in comune. Per trovare il raggio del cerchio di base calcoliamo prima l’area del triangolo: clip_image012[1]

Il raggio è l’altezza del triangolo se consideriamo l’ipotenusa come base, quindi usando la formula inversa: clip_image014[1]

Poi ci servono anche le altezze dei due coni, le troviamo con Pitagora:

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Adesso possiamo trovare il volume dei coni:

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Poi troviamo le aree laterali considerando che clip_image026[1]:

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Diedri e angoloidi

Cos’è un diedro? Un angolo formato da due piani che si intersecano. Più precisamente abbiamo questa definizione:

“Il diedro è la porzione di spazio compresa tra due semipiani (α e β detti facce) aventi per origine la stessa retta (detta spigolo)”

diedro

Come per gli angoli nel piano abbiamo diedri concavi e convessi: Il diedro che contiene il prolungamento delle due facce si dice concavo, quello che non li contiene convesso.

diedri

Per una retta “t” passano infiniti piani che formano un fascio:

 

fascio

Se tracciamo da un punto V dello spazio, quattro semirette che hanno origine in V ma appartengono allo stesso piano solo a due a due otteniamo un angoloide:

angoloide

 

Il numero minimo di facce che costituiscono un angoloide è tre e si chiama triedro.

Ricordiamo che lo sviluppo piano di un angoloide è uguale alla somma dell’ampiezza delle facce e deve essere minore di 360°.

Ora che abbiamo brevemente ripassato questi concetti possiamo provare a rispondere a questo questionario.