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Problema di Geometria (Terza Media, tipo esame)

Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 120 cm e l’ipotenusa di 50 cm. Sapendo che i due cateti sono uno i 3/4 dell’altro, calcola l’area totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa.

Soluzione

Il perimetro è la somma di ipotenusa + cateto1 + cateto2 quindi se dal perimetro tolgo l’ipotenusa 120 – 50 = 70 cm trovo la somma dei due cateti.

Sapendo la proporzione che lega i due cateti posso applicare la proprietà del comporre:

Che risolvo:

Mentre il cateto2 = 70 – 30 = 40 cm

Questo è il solido ottenuto ruotando il triangolo rettangolo attorno alla sua ipotenusa:

clip_image010[1]

Si tratta di due coni con la base in comune. Per trovare il raggio del cerchio di base calcoliamo prima l’area del triangolo:

Il raggio è l’altezza del triangolo se consideriamo l’ipotenusa come base, quindi usando la formula inversa:

Poi ci servono anche le altezze dei due coni, le troviamo con Pitagora:

Adesso possiamo trovare il volume dei coni:

Poi troviamo le aree laterali considerando che :

Oggi risolviamo un problema di geometria solida, uno di quelli che vengono solitamente assegnati alla prova scritta dell’esame di terza media.

Problema: Una piramide quadrangolare ha l’altezza che misura i 12/7 dello spigolo di base. Sapendo che il suo volume misura 5292 cm3, trova la superficie totale.

Soluzione: Supponiamo che il lato di base misuri 7 cm e l’altezza 12 cm. La misura dell’ipotetica piramide sarebbe

Siccome la piramide del problema ha un volume di 5292 cm³, il rapporto tra il volume reale e quello ipotizzato è di

volte.

Se quello è il rapporto tra volumi (centimetri alla terza) avremo che il rapporto tra lati sarà la sua radice cubica: e quindi il lato di base della piramide reale misura 7×3=21 cm mentre l’altezza sarà 12×3=36 cm.