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Trovare le misure della piramide sapendo rapporto e volume

Oggi risolviamo un problema di geometria solida, uno di quelli che vengono solitamente assegnati alla prova scritta dell’esame di terza media.

piramide

 

Problema: Una piramide quadrangolare ha l’altezza che misura i 12/7 dello spigolo di base. Sapendo che il suo volume misura 5292 cm3, trova la superficie totale.

 

Soluzione: Supponiamo che il lato di base misuri 7 cm e l’altezza 12 cm. La misura dell’ipotetica piramide sarebbe

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Siccome la piramide del problema ha un volume di 5292 cm3, il rapporto tra il volume reale e quello ipotizzato è di

clip_image004 volte.

Se quello è il rapporto tra volumi (centimetri alla terza) avremo che il rapporto tra lati sarà la sua radice cubica: clip_image006 e quindi il lato di base della piramide reale misura 7×3=21 cm mentre l’altezza sarà 12×3=36 cm.

Utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo verde, troviamo l’apotema della piramide.

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clip_image006[5]

Cono generato dalla rotazione di un triangolo

Uno strumento molto utile per illustrare come si genera il cono ruotando un triangolo, realizzato dalla Prof.ssa Giovanna con GeoGebra,

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Sotto al video trovate l’applet Java interattivo.

I vari cursori permettono di modificare l’altezza, il raggio e la posizione del triangolo.

Il triangolo rettangolo ruota attorno ad un asse verticale.

Il cateto minore, ruotando, genera il cerchio di base del cono, mentre l’ipotenusa percorre la superficie curva chiamata area laterale del cono.

L’ipotenusa del triangolo prende il nome di apotema del cono.

 

Interagisci con la costruzione qui sotto.

 

Sviluppo sul piano di solidi, un’aggiunta a SketchUp

Flattery è un plug-in per SketchUp, il famoso programma gratuito che permette di disegnare oggetti in 3D.

Quest’aggiunta permette di ottenere lo sviluppo sul piano di solidi come parallelepipedi, piramidi o altri diedri che non abbiano facce curve.

Sviluppo sul piano di un parallelepipedo

Come scaricare Flattery per arricchire SketchUp.

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Cliccate sul pulsante “Download”, salvate in una cartella il pacchetto compresso zip, decomprimetelo e salvate questi file:

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nella cartella C:\Program File\Google\Google SketchUp 7\Plug-in (per chi usa Windows) o in quella /Library/Application Support/Google/Google SketchUp 7/SketchUp/plugins (se usate il Mac).

Appena aprirete SketchUp troverete i cinque pulsanti del menù di Flattery.

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Come usare Flattery.

Dopo aver costruito il vostro solido con SketchUp, selezionatelo e cliccate sul primo pulsante “Index Edges” per memorizzare tutti gli spigoli.

Una volta indicizzati gli spigoli siete pronti ad aprire e sviluppare il solido. Usate il secondo pulsante “Unfold Faces” e cliccate sulle due facce da separare. La seconda delle due risulterà sul piano di sviluppo. Prima di proseguire nell’apertura ricordate di fare in modo che la seconda cliccata appartenga sempre al piano di sviluppo. Se preferite, potete anche selezionare facce multiple tenendo premuto il tasto Ctrl, anche in questo caso l’ultima scelta sarà quella di riferimento dello sviluppo. Ad ogni modo vi consigliamo di seguire il filmato per comprendere meglio la sequenza delle operazioni.

 

Quando avrete sviluppato completamente il vostro solido è possibile riunire alcuni spigoli con lo strumento “Reunite Edges”. Iniziate cliccando due volte con il puntatore sul gruppo che contiene il vostro modello, poi un clic su “Reunite Edges” e infine scegliete le facce che volete spostare. Muovendo il mouse sopra agli spigoli vedrete diventare rossi i loro corrispondenti. Cliccate sullo spigolo evidenziato e la faccia si sposterà.

 

 

 

Il terzo pulsante “Add tabs” vi permette di aggiungere semplici linguette, utili ad incollare il vostro lavoro ritagliato sul cartone. Un semplice doppio clic e avrete una linguetta di circa mezzo centimetro. Se preferite potete cliccare una volta e poi trascinare il mouse per modificare le dimensioni delle linguette. Il tasto Ctrl fornisce un’ulteriore scelta tra forme triangolari o trapezoidali. Vi renderete conto che il vostro lavoro verrà facilitato dalla comparsa degli spazi rossi che riceveranno la colla.

 

 

L’ultimo pulsante “SVG Export” serve ad esportare il modello nel formato SVG, visualizzabile e modificabile con programmi come Adobe Illustrator o Inkscape.