Problema: Il rapporto tra il raggio del cerchio inscritto in un rombo e la semi diagonale minore del rombo è 4/5 e la loro somma è 27 cm. Sapendo che il rombo costituisce la base di una piramide retta che ha la misura dell’altezza di 9 cm calcola l’area della superficie totale della piramide.

Soluzione:

Se conosco il rapporto tra due numeri e la loro somma posso applicare la proprietà del comporre alla proporzione:

raggio : semi diagonale = 4 : 5

(raggio + semi diagonale) : raggio = (4 + 5) : 4  [proprietà del comporre]

27 : raggio = 9 : 4

Raggio = 27 per 4 diviso 9 = 12 cm

Semi diagonale = 27 – 12 = 15 cm

Adesso posso disegnare il rombo:

Con il teorema di Pitagora trovo

Con il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo AOD

trovo quindi il lato del rombo AD = AE + ED = 25 cm

Adesso posso disegnare la piramide.

Vediamo che l’apotema EV è l’ipotenusa del triangolo rettangolo

VOE, quindi con Pitagora troviamo

Possiamo trovare l’area laterale con la formula perimetro per apotema diviso due, il perimetro è lato per quattro: 25 x 4 = 100 cm

Sapendo che l’area di base (rombo) è

Possiamo trovare l’area totale = area laterale + area di base = 750 + 600 = 1350 cm²