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Risolviamo un problema di geometria per la terza media

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Problema: Il rapporto tra il raggio del cerchio inscritto in un rombo e la semi diagonale minore del rombo è 4/5 e la loro somma è 27 cm. Sapendo che il rombo costituisce la base di una piramide retta che ha la misura dell’altezza di 9 cm calcola l’area della superficie totale della piramide.

Soluzione:

Se conosco il rapporto tra due numeri e la loro somma posso applicare la proprietà del comporre alla proporzione:

raggio : semi diagonale = 4 : 5

(raggio + semi diagonale) : raggio = (4 + 5) : 4  [proprietà del comporre]

27 : raggio = 9 : 4

Raggio = 27 per 4 diviso 9 = 12 cm

Semi diagonale = 27 – 12 = 15 cm

Adesso posso disegnare il rombo:

clip_image002[3]

Con il teorema di Pitagora trovo clip_image004[5]

Con il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo AOD

trovo clip_image006[4]quindi il lato del rombo AD = AE + ED = 25 cm

Adesso posso disegnare la piramide.

clip_image008[3]

Vediamo che l’apotema EV è l’ipotenusa del triangolo rettangolo

VOE, quindi con Pitagora troviamo clip_image010[4]

Possiamo trovare l’area laterale con la formula perimetro per apotema diviso due, il perimetro è lato per quattro: 25 x 4 = 100 cm

clip_image012[4]

Sapendo che l’area di base (rombo) è

clip_image014[20]

Possiamo trovare l’area totale = area laterale + area di base = 750 + 600 = 1350 cm2

Come faccio a risolvere questo problema di geometria?

Problema: L’area di un cerchio è di 452,16 cm2. Da un punto P distante 15 cm dal centro, conduci le 2 tangenti AP e PB. Trova il perimetro e l’area del quadrilatero OAPB.

Soluzione:

Sapendo che l’area del cerchio si trova: clip_image002[6]

Troviamo il raggio con la formula inversa:

clip_image004[6]

Possiamo disegnare la figura:

clip_image006[6]

I triangoli PBO e PAO sono rettangoli perché le tangenti sono perpendicolari ai raggi BO e AO.

Applichiamo il Teorema di Pitagora per trovare i cateti BP=AP

clip_image008[6]

Quindi il perimetro del quadrilatero AOBP è la somma dei suoi lati:

clip_image010[6]

Mentre l’area del quadrilatero AOBP è la somma delle aree dei due triangoli AOP e BOP:

clip_image012[6]

clip_image014[6]

c.v.d.

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