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Prisma retto problema risolto N°175

Problema che potrebbe capitare alla prova scritta di matematica per la Terza Media.

fig1

Disegniamo il trapezio isoscele per capire come calcolarne l’altezza.

fig2

L’altezza del trapezio DE è uguale ai segmenti AE e DE perché il triangolo ADE è rettangolo e anche isoscele avendo gli angoli α e β entrambi di 45°. Inoltre AE = FB perché il trapezio è isoscele e misurano (AB – DC) : 2 = (10 – 8) : 2 = 1 cm

Quindi l’altezza del trapezio misura 1 cm.

Per trovare la superficie totale di questo prisma dobbiamo sommare le aree delle due basi trapezoidali all’area laterale.

fig3

 

clip_image002

 

L’area laterale del prisma si ottiene moltiplicando il perimetro del trapezio per l’altezza del prisma:

Per calcolare il perimetro del trapezio isoscele troviamo il lato obliquo con Pitagora:

 

clip_image002[10]

 

Perimetro = AB+BC+CD+DA=10+1,4142+8+1,4142=20,8284 cm

Area laterale = perimetro x altezza del prisma = 20,8284 x 6 = 124,9704 cm2

Area totale = area delle due basi + area laterale = 9 + 9+ 124,9704 = 142,9704 cm2

Solido rotazione problema risolto N°196

Esercizio N° 196 La somma delle basi di un trapezio isoscele è di 36 cm e la base maggiore supera la minore di 16 cm. Sapendo che l’area del trapezio misura 270 cm2, determina l’area della superficie totale e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il trapezio di 360° intorno alla base minore.

img196

Quando conosciamo la somma e la differenza di due valori possiamo procedere così (vedi nostro post):

  1. Togliamo dalla somma la differenza (36 – 16 = 20)
  2. Dividiamo per 2 il risultato (20 : 2 = 10) per ottenere il valore del numero più piccolo
  3. Sommiamo al numero piccolo la differenza (10 + 16 = 26) per ottenere il valore del numero più grande

Quindi la base maggiore misura 26 cm mentre la base minore misura 10 cm.

Adesso calcoliamo l’altezza del trapezio usando la formula inversa dell’area.

Ricordiamo che l’area del trapezio si calcola con questa formula:

fig1

Per cui la formula inversa ci permette di calcolare l’altezza:

fig2

 

Questo è il nostro trapezio isoscele.

fig3

Se adesso facciamo ruotare di 360° il trapezio attorno alla sua base minore otteniamo questo solido. Si tratta di un cilindro con due cavità coniche.

fig4

Per calcolare l’area della superficie totale di questo solido di rotazione dobbiamo sommare quella laterale del cilindro e quelle laterali dei due coni.

Il cilindro è alto 26 cm ed ha il raggio di base di 15 cm.

fig5

I due coni (uguali) hanno il raggio di base sempre di 15 cm, il loro apotema si calcola con Pitagora:

fig6

Quindi l’area laterale del cono si trova così:

fig7

Ora basta sommare le tre aree laterali per trovare l’area totale del solido:

fig8

Il volume è formato dal quello del cilindro a cui dobbiamo sottrarre le due cavità formate dai due coni.

fig9

Volume totale del solido di rotazione:

fig10

Trovare le misure della piramide sapendo rapporto e volume

Oggi risolviamo un problema di geometria solida, uno di quelli che vengono solitamente assegnati alla prova scritta dell’esame di terza media.

piramide

 

Problema: Una piramide quadrangolare ha l’altezza che misura i 12/7 dello spigolo di base. Sapendo che il suo volume misura 5292 cm3, trova la superficie totale.

 

Soluzione: Supponiamo che il lato di base misuri 7 cm e l’altezza 12 cm. La misura dell’ipotetica piramide sarebbe

clip_image002

Siccome la piramide del problema ha un volume di 5292 cm3, il rapporto tra il volume reale e quello ipotizzato è di

clip_image004 volte.

Se quello è il rapporto tra volumi (centimetri alla terza) avremo che il rapporto tra lati sarà la sua radice cubica: clip_image006 e quindi il lato di base della piramide reale misura 7×3=21 cm mentre l’altezza sarà 12×3=36 cm.

Utilizzando il teorema di Pitagora applicato al triangolo verde, troviamo l’apotema della piramide.

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clip_image004[6]

clip_image006[5]